Vad betyder hypotenusa
•
Trigonometriska samband
I Matte 1- samt Matte 3-kurserna har tidigare stött vid de elementär trigonometriska sambanden. I detta här samt efterföljande del kommer oss att repetera en sektion av vad vi tidigare har lärt oss samt även fördjupa oss inom trigonometrin.
I ett rätvinklig triangel råder en förutsägbart samband mellan någon av triangelns spetsiga vinklar och kvoten mellan numeriskt värde av triangelns sidor. Dessa samband besitter vi stött på tidigare:
$$\sin(v)=\frac{motstående\,katet}{hypotenusan} $$
$$\cos(v)=\frac{närliggande\,katet}{hypotenusan}$$
$$\tan(v)=\frac{motsående\,katet}{närliggande\,katet}$$
Värdet vid dessa kvoter mellan numeriskt värde av triangelns sidor kommer att existera olika beroende på vilken storlek den spetsiga vinkeln har. till vissa storlekar på vinkeln kommer kvoten att bli ett detaljerad värde, vilket i flera sammanhang existerar användbara för att känna till.
Låt oss titta på några exempel
Beräkna längden på sidan x
Vi besitter en vinkel, hypotenusan samt letar efter motstående blad och oss vet att
$$\sin v=\frac{motstående\: katet}{hypotenusan}$$
och då kunna vi ställa upp den här ekvationen och åtgärda ut x
$$\sin(45^{\circ})= \frac{x}{42,5}$$
$$42,5 \cdot \sin(45^{\circ})= x$$
$$x = 3
•
Pythagoras sats
En av de mest kända matematiska satserna är den så kallade Pythagoras sats, som ger oss ett samband mellan en rätvinklig triangels tre sidor. Detta är en sats som man kan få användning av i väldigt många olika sammanhang.
Pythagoras sats
En rätvinklig triangel består av två kortare sidor, som vi kallar kateter, och en längre sida, som vi kallar hypotenusa. De två kateterna möts i en rät vinkel (alltså \(90°\)) och hypotenusan är motstående till den räta vinkeln. I figuren nedan ser du en typisk rätvinklig triangel, med kateterna och hypotenusan markerade:
I varje rätvinklig triangel råder, enligt Pythagoras sats, följande samband mellan längden på triangelns sidor:
$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$
där \(a\) och \(b\) är längderna på kateterna, och \(c\) är längden på hypotenusan. Summan av kateternas kvadrater är alltså lika med hypotenusan i kvadrat.
I rutan nedan har en rätvinklig triangel ritats ut. Se även att tre kvadrater har ritats ut, en för varje sida i triangeln. Det går att flytta på de gula punkterna för att få en annan rätvinklig triangel.
Testa själv och se om Pythagoras sats verkar stämma!
Exempel
De två kateterna i en rätvinklig triang • Pythagoras sats anger det viktiga och användbara sambandet mellan de tre sidornas längder i en rätvinklig triangel. I det här avsnittet ska vi undersöka rätvinkliga trianglar, men denna gång ska vi hitta samband mellan längden på triangelns sidor och dess spetsiga vinklar. De olika sidorna i en rätvinklig triangel benämns på olika sätt i relation till vinkeln som vi studerar: I den rätvinkliga triangeln här ovan studerar vi vinkeln \(v\) och benämner de olika sidorna i relation till denna vinkel. De två sidorna som möts i en \(90°\) vinkel kallas som bekant för kateter och den längre sidan som ligger mittemot den räta vinkeln kallas för hypotenusa. Den katet som ligger närmast vinkeln \(v\), kallas närliggande katet och den katet som ligger mittemot vinkeln \(v\), kallas för motstående katet. Detta är benämningar vi kommer att använda mycket framöver. Sinus, cosinus och tangens är trigonometriska funktioner som anger förhållandet mellan längderna på en rätvinklig triangels sidor. Ett sätt att förstå dessa trigonometriska funktioner är att det för en viss vinkel \(v\) grader alltid råder ett visst förhålland Trigonometri
Trigonometriska funktioner